Teoría de conjuntos: Los números naturales
Teoría de conjuntos: Los números naturales
En esta segunda entrega de la serie de Teoría de Conjuntos, exploramos el origen del Conjunto de los Números Naturales que representa el primer acercamiento que tienen niños y niñas a la matemática.
El conjunto de los números naturales está formado por todos los números positivos que no tienen cifras decimales o, mejor dicho, cuya expansión decimal está formada únicamente por ceros.
Así, por ejemplo, el número 3 es un número natural porque es positivo y porque su expansión decimal es 3,0000… Por extensión, los números naturales se definen como:
Los números naturales no son otra cosa sino los números que usamos para contar, pero con una salvedad: aquellas cosas que contemos tienen que estar enteras. Es decir, no sirven para contar los elementos de un conjunto formado a la vez por objetos enteros y pedazos de objetos.
En la introducción de esta serie, nos referimos a un concepto que representa la cantidad de elementos que tiene un conjunto y que se simboliza con una almohadilla (#): el cardinal. Vimos que, por ejemplo, un conjunto A definido como A = {a, b, c} tenía cardinal 3, de modo que: #A = 3.
En el caso de los naturales, su cardinal no es un número en sí mismo. Esto es algo que cualquier mente con sentido numérico podría notar fácilmente. Basta con mirar la definición por extensión expuesta antes para inferir que el conjunto no tiene una cantidad finita de números, sino infinita. Como quién diría, el conjunto tiene inicio (el 1), pero no tiene fin.
En teoría de conjuntos, un número natural hace referencia precisamente al cardinal de un conjunto. El número 5, por ejemplo, representa a todos los conjuntos que tienen cinco elementos.
Ahora bien, si se trata de contar, es probable que te hayas preguntado qué ocurre con el cero. El cero, un número que ni siquiera era considerado como tal en la antigüedad, representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío, es decir, es el tamaño de un conjunto sin elementos.
La expresión de arriba se lee: El cardinal del conjunto vacío (o bien, el cardinal del conjunto que no tiene elementos, de allí el doble signo igual) es cero.
Ya vimos que el conjunto vacío ocupa un rol preponderante en los fundamentos de la teoría de conjuntos. Es por eso que algunos postulan que deberíamos considerar que los números naturales incluyen también al cero como uno de sus elementos.
Como se trata solamente de un problema de convenciones, seguiremos considerando que los naturales comienzan desde el 1. En cambio, llamaremos Conjunto de los Números Cardinales a aquel que comienza desde el 0.
Bajo esta premisa, el Conjunto de los Números Naturales vendría siendo un subconjunto propio del Conjunto de los Números Cardinales. Esto porque los cardinales incluyen un elemento que los naturales no: el cero.
La vez pasada también mencionamos otro concepto y dijimos que, en una próxima ocasión (esta), lo usaríamos para una construcción fundamental. Hoy, mis queridos lectores, construiremos el conjunto de los números cardinales y, por añadidura, el de los naturales.
Antes de meter las manos a la masa, recordemos brevemente que la potencia de un conjunto es el conjunto formado por todos los subconjuntos que se pueden formar a partir de sus elementos. Por ejemplo, a partir del conjunto Z = { m, n } se pueden formar los subconjuntos ∅, {m}, {n} y {m, n}. Nótese que el conjunto vacío que aparece como primer subconjunto representa la opción de no elegir ningún elemento del conjunto Z.
El conjunto de los números cardinales no es otra cosa que un listado de todos los cardinales posibles. Es decir, todas las cantidades de elementos que un conjunto puede tener. Matemáticamente:
El primer elemento del conjunto de los cardinales se obtiene contando los elementos del conjunto vacío. Como no tiene elementos, su cardinal es el número cero.
\(0=\#\varnothing\)El segundo elemento de este conjunto se obtiene contando los elementos del conjunto potencia asociado al conjunto anterior, es decir, el conjunto potencia de vacío.
\(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\)Como este conjunto tiene solo un elemento (el conjunto vacío), su cardinal es el número 1.
\(1=\#\{\varnothing\}\)El tercer elemento se obtiene contando los elementos del conjunto potencia asociado al conjunto anterior, es decir, el conjunto potencia del conjunto potencia de vacío (la redundancia es deliberada).
\(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\)Como este conjunto tiene dos elementos (el conjunto vacío y el conjunto unitario del conjunto vacío), su cardinal es el número 2.
\(2=\#\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\)El cuarto elemento se obtiene, nuevamente, contando los elementos del conjunto potencia asociado al conjunto anterior, es decir, el conjunto potencia del conjunto potencia del conjunto potencia de vacío.
\(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)))=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\)Como este conjunto tiene tres elementos (el conjunto vacío, el conjunto unitario del conjunto vacío y el conjunto formado por la unión de ambos), su cardinal es el número 3.
\(3=\#\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\)Podríamos continuar, pero la lógica es la misma.
Es probable que, en este punto, una porción de los lectores sienta náuseas mientras que otra se sienta como en casa. El lenguaje formal de las matemáticas puede resultar complicado a un ojo poco entrenado, pero como en todo es cosa de tiempo y práctica.
En resumen, el conjunto de los números naturales sienta la base para la aritmética y todo aquello que diga relación con contar objetos, sean estos físicos o abstractos. Por temas de extensión es imposible profundizar más en los detalles de este conjunto, pero lo importante es abrir el apetito matemático del lector para que sea él o ella quien decida en qué aspecto profundizar.