Teoría de conjuntos: Una introducción
Teoría de conjuntos: Una introducción
En este breve post me propongo revisar tres nociones fundamentales en teoría de conjuntos: la definición de conjunto, de cardinal y de conjunto potencia.
En matemática, una de las construcciones teóricas que más revuelo ha generado fue la teoría de conjuntos. En pocas palabras, vino a reformular el concepto de número que hasta entonces se había conocido. Las bases de esta teoría fueron sentadas por Georg Cantor, Richard Dedekind y Gottlob Frege, tres matemáticos alemanes.
De alguna forma, en teoría de conjuntos, más que los números mismos, interesan los conjuntos y sus operaciones. Los números, sin embargo, están estrechamente relacionados con esta teoría, pues aparecen a través de un concepto denominado cardinal, que no es otra cosa sino la cantidad de elementos de un conjunto.
Una pregunta válida es: ¿Qué es un conjunto? Uno podría quedarse con que un conjunto es una colección de elementos, sin embargo, hay una excepción que confirma la regla: el conjunto vacío, el cual tiene cero elementos.
Los conjuntos se simbolizan usando paréntesis de llave, de modo que como el conjunto vacío no tiene elementos, se denota { } y se simboliza ∅, es decir, ∅ = { }. En teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el primero que aparece de manera formal.
Los conjuntos son también elementos. Por lo tanto, un conjunto puede contener a otros conjuntos. Esta condición, por insignificante que parezca, es básica para continuar construyendo más teoría sobre la teoría.
En este punto es necesario hacer un alto y dar un ejemplo concreto. Usando la simbología correspondiente, el conjunto S de los planetas del sistema solar estaría definido como:
S = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}
Su cardinal (su cantidad de elementos) es 8. En términos matemáticos, escribimos #S = 8. Además, se puede decir que es un conjunto finito porque la cantidad de elementos que lo conforman corresponde a un número natural.
Es difícil de explicar el concepto de cardinal mediante una definición más operacional, porque se puede caer en un ciclo infinito (una especie de círculo vicioso, en que definimos cardinal recurriendo a la definición de número y viceversa).
El conjunto A = {a, b, c}, formado por las tres primeras letras del abecedario, tiene cardinal 3 pues está conformado por tres elementos. Su cardinal se escribe como #A = 3 y se lee: el cardinal del conjunto A es tres.
En el largo camino hacia la ampliación de estos conjuntos primordiales, por así llamarlos, a otros más grandes, no tardamos mucho en encontrarnos con bestias de dos cabezas como el conjunto de los números reales. En dicho conjunto, no importa qué par de números se elija, siempre habrá otro número entre ellos. Pero no nos adelantemos, que eso es un tema a discutir más adelante.
Antes de continuar tenemos que introducir un nuevo concepto: el de conjunto potencia. Pero, ¿qué es? El conjunto potencia, simbolizado con una P cursiva, es aquel constituido por todos los subconjuntos que se pueden formar a partir de los elementos de un conjunto. En el caso del conjunto A mencionado más arriba, los subconjuntos que se pueden formar son:
{ } : El conjunto vacío, que pertenece a todo conjunto.
{a} , {b} , {c} : Tres conjuntos unitarios.
{a, b} , {a, c} , {b, c} : Tres conjuntos de dos elementos.
{a, b, c} : Un conjunto de tres elementos.
De modo que el conjunto se define así:
Nótese que este conjunto está formado por ocho elementos, siendo el primero de ellos el conjunto vacío. Los siete restantes representan todas las maneras en que se pueden formar subconjuntos usando los tres elementos del conjunto A.
El cardinal del conjunto potencia se puede calcular mediante una potencia de base 2, de modo que:
Es decir, si queremos calcular cuántos elementos tendrá el conjunto potencia de un cierto conjunto, simplemente contamos los elementos de este último y multiplicamos 2 por sí mismo esa cantidad de veces.
En el ejemplo, como el conjunto A tiene 3 elementos, el conjunto potencia de A tiene 8 elementos (2 elevado a 3).
Pero no nos mareemos. Lo importante por ahora es que existen distintos conjuntos numéricos, que el primero de ellos es el conjunto vacío (que no tiene elementos) y que a partir de este y la noción de conjunto potencia, es posible definir uno con infinitos elementos: el conjunto de los números naturales.
En resumen, la teoría de conjuntos es una construcción teórica fundamental en matemática que se centra en los conjuntos y sus propiedades. El conjunto vacío y un par de conceptos básicos como el de cardinal y de conjunto potencia configuran la base para construir otros conjuntos más complejos.
En una próxima ocasión revisaremos en más detalle el conjunto de los números naturales y su importancia en la matemática moderna.