Octoniones: Contando en ocho dimensiones

En simple, la matemática se trata de contar. Partiendo del concepto básico de cardinal, recorremos todos los conjuntos numéricos posibles, desde los naturales hasta los octoniones.

A temprana edad conocemos los números. Nos los enseñan como una secuencia que hay que memorizar y nos explican que podemos establecer ciertas asociaciones entre cada guarismo y una determinada cantidad de objetos. Indirectamente, nos están introduciendo en la Teoría de Conjuntos, un área de la matemática que en algún punto del siglo pasado pretendió —o la obligaron a pretender— ser la teoría del todo de la matemática.

André Weil fue un matemático francés que vivió durante casi toda la extensión del siglo XX, ya que nació en 1906 y murió en 1998. Entre otras cosas, se le conoce por un empeño que emprendió junto a otros colegas para establecer un mecanismo que les permitiera producir nueva matemática (DuSautoy, 2003). El enfoque de Nicholas Bourbaki, el personaje ficticio que crearon para darle vida a esta idea, se centraba en el desarrollo de un lenguaje académico formal basado en la teoría de conjuntos (Scheiner et al., 2022; Crilly, 2009). En términos generales, podría decirse que el proyecto fracasó.

El conteo, aparte de entenderse como levantar o bajar dedos de una mano, se formaliza en un concepto matemático denominado cardinal. El cardinal es una generalización de los números naturales que representa el número de elementos de cualquier conjunto, sea este finito —limitado en la cantidad de números que incluye— o infinito (Stewart, 2022).

Figura 1: Un conjunto formado por 7 figuras.

El cardinal es una idea simple, pero aun en su simplicidad, sienta las bases para la construcción de los conjuntos numéricos. Parece lógico que la matemática requiere al conteo para existir, ¿o qué es la matemática sino una disciplina que estudia distintas formas de contar?

Y es que tenemos un conjunto para cada tarea de conteo que nos propongamos. Están los números naturales (1, 2, 3, …) que nos sirven para contar ovejas mientras intentamos dormir (no lo intenten, no funciona). Están los números cardinales (0, 1, 2, 3, …) que son una extensión del conjunto anterior que agrega el cero —para cuando existe la posibilidad de que no haya nada de algo o por si el pastor se queda sin ovejas. Están también los números enteros que incluyen también una copia negativa (o como llamamos en matemática, el opuesto) de los naturales, que sirven para representar alturas por debajo del nivel del mar o la cantidad de dinero que le debemos al banco a través de la línea de crédito.

Figura 2: La recta de los números enteros. Aunque quizá en el colegio te acostumbraste a colocarle una punta de flecha en ambos extremos, la verdad es que solo debería ponerse en el costado derecho, que indica el sentido positivo.

La lista de conjuntos está lejos de acabarse aún. Existen también los números racionales, su complemento perfecto (los irracionales) y los reales, que resultan de meter en un solo saco a los racionales y a los irracionales.

Figura 3: Los números reales están formados por la unión de dos conjuntos: el de los racionales y el de los irracionales. El tamaño de los rectángulos no es reflejo de la realidad porque hay más irracionales que racionales (aunque ambos conjuntos tienen infinitos elementos).

A medida que iban haciendo falta más números, los matemáticos buscaban la manera de satisfacer dicha necesidad. Es natural que a partir de esto surja un cuestionamiento de corte filosófico: ¿la matemática se crea o se descubre? La respuesta —o el sabido infructífero empeño por dar una— será material de una próxima columna.

En algún punto de este porvenir creando o descubriendo nuevos conjuntos numéricos, los matemáticos se preguntaron si llegaría un momento en que ya no habría ningún otro conjunto que crear o descubrir. Y como no todas las preguntas pueden quedar abiertas, esta es la respuesta: sí, hay un final en el camino. Pero antes de poder profundizar en ello, es necesario revisar otros conjuntos.

Con los números reales ciertamente se produce un quiebre: no hay otro conjunto numérico 1-dimensional —es decir, con números de una dimensión que se puedan dibujar sobre una recta numérica tal y como aprendimos en el colegio— más grande. La única manera de continuar contando está en agregar una segunda dimensión. Es así como aparecen los números complejos.

A diferencia de los números reales que están atrapados en una recta numérica que es como un hilo infinitamente delgado (sin grosor), los números complejos viven más bien en una tela (también infinitamente delgada, pero de largo y ancho ilimitados).

Figura 4: Representación gráfica del número complejo 6 + 3i

La figura 4 muestra una ligera modificación del plano cartesiano llamada Diagrama de Argand, que se usa para representar números complejos. Estos tienen dos componentes. Son, por así decirlo, números hechos de dos números, porque para señalar una ubicación en el plano complejo se necesita una longitud horizontal (la parte real) y una longitud vertical (la parte imaginaria).

Todos los conjuntos que hemos mencionado —con excepción de los racionales e irracionales que son disjuntos— contienen a su predecesor, de modo que los naturales son subconjunto de los enteros, los enteros de los reales, los reales de los complejos y así sucesivamente. A medida que avanzamos por la secuencia, los conjuntos se van haciendo más grandes, aunque en estricto rigor tengan la misma cantidad de números, como ocurre con naturales y enteros: su cardinal es ℵ₀ (álef 0).

Resumiendo: se dice que los números complejos son bidimensionales porque tienen dos partes, una real y una imaginaria (Parker, 2014), cada una de las cuales se representa como un número ubicado en uno de los ejes del plano complejo. Por ejemplo: 2 + 3i es un número complejo. Tiene una parte real, 2, y una parte imaginaria, 3i.

En vista de que es posible concebir números de dos dimensiones, es natural preguntarse sobre la existencia de cantidades de tres, cuatro o más dimensiones. Y la respuesta nuevamente es sí, hay números de más dimensiones. Sin embargo, la cantidad de dimensiones es siempre el doble de la anterior. Es decir, después de los complejos (de dos dimensiones), aparecen los cuaterniones (de cuatro) y los octoniones (de ocho). No hay, por ejemplo, números de tres dimensiones, porque es imposible construir entidades con esa característica que se comporten como números.

Los cuaterniones son una extensión de los números complejos a cuatro dimensiones que constan de una parte real y tres imaginarias denotadas por i, j y k (Parker, 2014). Estos números tienen una particularidad que los hace rotundamente distintos de los anteriores: forman un anillo de división o cuerpo no conmutativo. Pongamos esto último en buen cristiano.

Cuando uno aprende a multiplicar por primera vez por allá por quinto año básico, memoriza una propiedad que a muchos resonará en su cabeza: «el orden de los factores, no altera el producto». Es decir, sobre los enteros, 3 ⋅ 4 es igual a 4 ⋅ 3. Pues, siendo z₁ y z₂​ dos cuaterniones cualesquiera, z₁ ⋅ z₂ no es igual a z₂ ⋅ z₁​. Por eso se dice que los cuaterniones forman una estructura algebraica no conmutativa (Crilly, 2009).

En este punto debo hacer una advertencia: estamos a punto de llegar al final del recorrido. ¿La razón? Está probado que no existen números imaginarios de más dimensiones que los octoniones (Crilly, 2009). Y en matemática las demostraciones son en serio: si se demuestra algo y la demostración es lógicamente correcta, la única forma de revertir la conclusión sería que se cayera el cuerpo de axiomas que sostiene toda la matemática.

Los octoniones son una extensión de los cuaterniones que forma un álgebra de 8 dimensiones. Cada octonión es una combinación lineal de la base e₁​, …, e₇. Al igual que los cuaterniones, su álgebra es de tipo no conmutativa, pero además es no asociativa, lo que restringe aún más la manera en que se deben operar estas cantidades. Solo para aclarar toda posible duda: la propiedad asociativa es la que permite que, operando sobre los enteros, podamos cambiar el orden en que realizamos las operaciones, de modo que: (2 + 7) + 3 es lo mismo que 2 + (7 + 3).

En definitiva, podemos decir con toda seguridad que, una vez mencionadoslos octoniones, hemos abordado todos los tipos de números posibles: reales, complejos, cuaterniones y octoniones... ¡Y no hay más! (Parker, 2014).

Hemos revisado lo que para muchos puede parecer un sinfín de conjuntos numéricos, por lo que es válido preguntarse por la condición del número como entidad fundamental de la matemática. Esta es una pregunta que ya se han hecho los filósofos (o más bien los epistemólogos) de la matemática antes. En general, la conclusión ha sido que las entidades matemáticas fundamentales son el número y las figuras geométricas (Kline, 1972). Pero, ¿qué son los números? ¿Y qué las figuras geométricas? No hay tiempo de responderlo ahora.

Referencias bibliográficas

• Crilly, T. (2009). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ariel.

• Du Sautoy, M. (2003). The music of the primes: Searching to solve the greatest mystery in mathematics. Harper.

• Kline, M. (1972). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Volume I. Oxford.

• Parker, M. (2014). Things to make and do in the fourth dimension. Penguin Books.

• Scheiner, T., Godino, J. D., Montes, M. A., Pino-Fan, L. R., & Climent, N. (2022). On metaphors in thinking about preparing mathematics for teaching: In memory of José (“Pepe”) Carrillo Yáñez (1959–2021). Educational Studies in Mathematics, 111, 253-270. Link

• Stewart, I. (2022). Mentes maravillosas: Los matemáticos que cambiaron el mundo. Crítica.