Disquisiciones epistemológicas sobre la dificultad de la matemática
Disquisiciones epistemológicas sobre la dificultad de la matemática
La matemática constituye un sistema autopoiético que muchos aspiran a comprender, pero que pocos consiguen. ¿Significa esto que la matemática es una disciplina intrínsecamente complicada?
Considere una población estudiantil promedio, por ejemplo, un colegio que tenga cerca. Tome una muestra de tamaño apropiado, usando preferentemente la técnica de muestreo estratificado, y aplique un instrumento tipo cuestionario con la siguiente pregunta: De las asignaturas escolares, ¿cuál es la que consideras más difícil? Aclare que solo se puede escoger una y que, con la finalidad de hacer también un análisis cualitativo, se requiere una fundamentación breve para la respuesta. Siendo esta una situación ficticia, ¿cuál cree que sería la respuesta a la pregunta del instrumento y cuáles los fundamentos principales?
El párrafo anterior cumple dos propósitos en el contexto de esta columna. Primero, ejemplifica la especial dificultad que se tiene para comprender un texto cuando no se maneja a cabalidad el lenguaje formal de la disciplina con que se relaciona. Segundo, propone una situación sesgada en favor de una respuesta: la matemática. Además, es altamente probable que los participantes tengan fundamentos comunes o que, al menos, no presenten demasiada variabilidad.
El problema, según algunos, tiene que ver con la naturaleza epistemológica de la disciplina. La matemática es de las pocas ciencias que estudia un universo completo de objetos inanimados: los números y las figuras geométricas1 o, equivalentemente, cantidades y formas. Es cierto que tiene múltiples aplicaciones en la vida cotidiana y que no es un tema que se estudie únicamente por razones intelectuales, pero cualquiera de estas aplicaciones requiere de un nivel de comprensión mínima de sus procedimientos y su lenguaje.
La matemática dispone de palabras claves especiales como tres, triángulo, conjunto o función; mediadores visuales como numerales, símbolos algebraicos y gráficos; rutinas como definir, demostrar o verificar; y narrativas respaldadas por la comunidad como teoremas, definiciones y algoritmos.2 Tales elementos conforman el discurso matemático, un lenguaje común usado por todos sus practicantes y que hilvana todo razonamiento matemático. Esto puede suponer un problema si se considera que su uso requiere de mayor rigurosidad que cualquier disciplina científica no formal.3
Haciendo referencia a Maturana, diríamos que la matemática es un sistema genuinamente autopoiético, en tanto crea todas las entidades de las que hablan los participantes de su discurso. Así, la matemática es capaz de generar y mantener sus propios conceptos, reglas y teoremas sin depender de ninguna otra disciplina externa. Sin embargo, aunque la matemática sea un sistema autopoiético, su desarrollo ha sido influenciado por diversas áreas del conocimiento humano a lo largo de la historia. Es decir, en el ir y venir entre teoría y aplicación, el sistema se ha ido retroalimentando.
En el camino por el aprendizaje de la matemática, hay un punto de no retorno. Cuando el sujeto consigue apropiarse del discurso matemático, empieza a percibir los objetos matemáticos como si tuvieran una existencia material, como si existieran en otra parte afuera de la mente humana. Pero en realidad, los objetos matemáticos solo pueden existir con todas sus características en la psique.
¿Es que acaso es posible encontrar figuras geométricas ideales en la vida real? La verdad es que no: cualquier cosa que “parezca” que tiene la forma perfecta de, por ejemplo, un rectángulo, tendría dificultades para pasar la prueba en alguna escala de precisión. Aunque se tratase de una película delgadísima con el grosor de un átomo (mínimo requerido para tener una existencia material), tendría un grosor… ¡Y por definición una superficie geométrica no tiene grosor!4
En esta misma línea, cobra importancia la consideración del problema ontológico5 respecto de si la matemática se crea o se descubre. En otras palabras, ¿es que descubrimos los objetos matemáticos porque los recibimos provenientes de algún cierto mundo inmaterial ajeno a nosotros, o es que los inventamos para acomodarse a lo observamos en nuestro entorno? ¿Tienen una existencia como entidades fuera de nuestra mente o son simplemente constructos inventados por los seres humanos?
Platón, el reconocido filósofo de la Grecia antigua, creía que los objetos matemáticos tenían una existencia objetiva independiente de la mente humana, configurando lo que se conoce como platonismo matemático. Un par de milenios más tarde, David Hilbert propuso la idea de que la matemática es una creación humana, corriente que se conoce como formalismo. La matemática es un sistema formal compuesto por símbolos y reglas de manipulación de esos símbolos.6
Esta disyuntiva es en realidad un camino sin salida. Sea que el idealismo o que el formalismo se aproxima más a la verdad, lo cierto es que la matemática es una herramienta poderosa en la senda por la comprensión del universo en que vivimos. La matemática vincula el mundo abstracto de los conceptos mentales con el mundo real de los objetos físicos sin ubicarse completamente en ninguno,7 de modo que resulta perfectamente viable adoptar una postura intermedia entre ambos extremos.
Solo para ejemplificar, en el apogeo de la crisis de los fundamentos de la matemática, entre fines del siglo XIX e inicios del siglo XX, se identificó la necesidad de formalizar una noción que hoy nos parece demasiado simple, casi banal y que podemos resumir en una pregunta: ¿Qué es el 1? Antes de seguir leyendo, invito al lector a elaborar una respuesta en su mente.
La respuesta tiene algo de circular. El símbolo "1" representa en realidad la clase de todos los conjuntos que contienen exactamente un elemento, es decir, todos aquellos conjuntos cuyo cardinal es 1. El símbolo "1" no es un número hasta que se define formalmente como tal. En buen cristiano: imagínese que colocamos una manzana sobre la mesa. La cantidad de manzanas que hay allí representa precisamente lo que todos entendemos como "1". No es que las manzanas sean el "1", sino que este representa la cantidad de elementos (o el cardinal) del conjunto "Manzanas sobre la mesa".
Cabe destacar que si el proceso histórico usado como ejemplo se conoce como crisis de los fundamentos de la matemática, es porque de verdad supuso un tambaleo en los cimientos más profundos de la disciplina. En cierto sentido es como si después de avanzar en la construcción de varias plantas de un edificio, el ingeniero a cargo de la obra notara que el primer piso se construyó usando madera y no hormigón armado.
Es probable que el proceso por el cual se dotó a la matemática de estos “fundamentos sólidos” la haya cubierto con un velo lo suficientemente opaco como para que solo algunas personas puedan ver lo que hay del otro lado. Un "exceso" de formalidad, por así decirlo. Sin embargo, por excesiva que parezca, toda esa formalidad es la responsable de garantizar que, de no ser que nuevamente se descubra una debilidad importante en los cimientos, toda la matemática que se ha construido encima siga siendo válida. Desarrollar matemática a partir de supuestos no demostrados conlleva el mismo peligro que construir un castillo sobre la arena.8
Aunque por su naturaleza epistemológica, la matemática sea desafiante, es una disciplina fundamental para la comprensión del mundo que nos rodea. Desde sus orígenes, que se remontan al inicio de la historia junto al hito del surgimiento de los primeros sistemas de escritura, la matemática ha utilizado un simbolismo propio para representar situaciones materiales e inmateriales.
La crisis de los fundamentos de la matemática demostró la importancia de contar con bases sólidas y fundamentos claros para evitar construir castillos sobre la arena, aunque también es probable que haya añadido una última capa de formalidad que la hizo inalcanzable para quienes no disponen de suficiente interés o motivación.
Es difícil proponer una respuesta definitiva para la interrogante sobre la dificultad de la matemática como disciplina, pero es claro que uno de los factores más importantes tiene que ver con su naturaleza epistemológica y el problema ontológico que cargará probablemente hasta el fin de sus días. En una próxima entrega, revisaremos otros de los factores.
Kline, M. (1972). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Volume I. Oxford.
Sfard, A. (2020). Commognition. En S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 95-101). Springer.
La matemática, junto con la lógica y las ciencias de la computación, son las tres ciencias formales principales.
Uno podría pensar que como las figuras geométricas son infinitamente delgadas, entonces son transparentes. Sin embargo, como la opacidad o transparencia de un objeto tiene que ver con el material del que está hecho y no con su grosor, algunos creen que en realidad esta propiedad no se puede aplicar a los objetos geométricos.
Para los no instruidos en filosofía, la ontología es una rama de la filosofía que se ocupa del estudio del ser y la realidad.
Piñeiro, G. E. (2013). El infinito en matemáticas. Cantor. Lo incontable es lo que cuenta. National Geographic.
Courant, R., & Robbins, H. (1996). What is mathematics?. Oxford University Press.
Crilly, T. (2009). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ariel.