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Las operaciones binarias como resúmenes de cardinales

Las operaciones binarias como resúmenes de cardinales

Las operaciones binarias se llaman así porque involucran un cómputo o cálculo entre dos elementos, en este caso, números. Por muy complicada que pueda parecer una operación, supongamos, $12\cdot 3^2 + 7\cdot \left(5-6\cdot 2\right)$, cada paso o etapa del procedimiento que utilicemos para resolverla involucrará a dos números. En el ejemplo:

Desarrollo de la operación paso a paso

  1. Comenzamos resolviendo la multiplicación $6\cdot 2$ al interior de los paréntesis redondos.
  2. Efectuamos la resta $5-12$ al interior de los paréntesis redondos.
  3. Resolvemos la potencia $3^2$ cuyo resultado es ahora el segundo factor de la primera mutliplicación.
  4. Calculamos el resultado de la primera multiplicación.
  5. Como penúltimo paso, calculamos el resultado de la multiplicación restante.
  6. Finalmente, resolvemos la suma y, de este modo, obtenemos el resultado de la operación combinada.

En cada uno de los pasos que consideramos, las operaciones involucraron a dos números. Si uno suma varias cantidades, sea que uno lo haga de forma vertical u horizontal, siempre tendrá que añadir una cantidad a la anterior, y luego al resultado del cálculo anterior, y así sucesivamente.

La primera operación binaria que uno aprende durante su escolarización es la suma, y no cualquier suma, sino que la suma de números naturales (o cardinales). De este modo, la suma se puede entender como una forma de resumir estos cardinales en uno solo. Por ejemplo, la suma $2+3$, correspondería a resumir los cardinales de dos conjuntos que podemos llamar $A$ y $B$: uno con dos elementos, de modo que $#A = 2$, y otro con tres elementos, de modo que $#B=3$. Este ejercicio tiene como resultado $5$ ($#A+#B=5), que es el resumen de los cardinales de dos conjuntos con las cantidades de elementos antes indicadas (ver Figura 1). Pero, ¿por qué decir que la suma resume algo? La respuesta está en el hecho de que la operación recibe dos números y los devuelve convertidos en uno solo. También podemos decir que la suma, resume una operación de conteo. Si tengo 3 lápices y compro 2 más, la suma (5) resume la cantidad de lápices que tengo en total.

Conjuntos A y B con sus respectivos cardinales

La figura superior (Figura 1) muestra los conjuntos A y B con sus respectivos cardinales.

Entonces, uno está preparado para aprender a resumir sumas: para ello, se tiene a la multiplicación. La multiplicación, representada por el símbolo ·, es, por lo tanto, el resumen de varias sumas. Por ejemplo, $4\cdot 5$ (que se lee cuatro veces cinco o cuatro por cinco), corresponde al resumen de la suma $5+5+5+5$ (ver Figura 2). En cierta forma, es otra manera de escribir lo mismo, solo que más abreviada, porque ¿qué pasaría si nos piden sumar el número 3 consigo mismo doscientas veces? ¿Lo anotamos las doscientas veces? Es más simple escribir $200\cdot 3$, expresión que representa la misma cantidad que anotar doscientas veces el número 3 con signos más entre medio.

Ejemplo de suma resumida en forma de multiplicación

La figura superior (Figura 2) muestra un ejemplo de suma resumida en forma de multiplicación.

Por último, aparecen las potencias, que son resúmenes de multiplicaciones. Tenemos, por ejemplo, que $7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=7^5$ (ver Figura 3). La expresión del ejemplo se puede leer siete elevado a cinco o, de forma equivalente, la quinta potencia de siete. En ella, el número 7 recibe el nombre de base y corresponde al factor que se multiplica una cierta cantidad de veces. Asimismo, el número 5 es el exponente que indica la cantidad de veces que se multiplica el factor o base.

Ejemplo de multiplicación resumida en forma de potencia

La figura superior (Figura 3) muestra un ejemplo de multiplicación resumida en forma de potencia.

La multiplicación también está asociada al concepto de área en geometría, pues a través de ella, es posible calcular el área de cuadriláteros como el rectángulo o el cuadrado. En la Figura 4, se puede apreciar una representación gráfica de la multiplicación $2\cdot 3$, que también corresponde al cálculo del área de un rectángulo de ancho 2 y largo 3. El resultado, claramente, es 6.

Representación geométrica del producto de 2 y 3

La figura superior (Figura 4) muestra una representación geométrica del producto de 2 y 3.

Específicamente, cuando ambos factores son iguales, dicha multiplicación (o potencia) se puede relacionar con el cálculo del área de un cuadrado. En la Figura 5 se puede observar la multiplicación $2\cdot 2$ que corresponde al cálculo de la segunda potencia de dos o $2^2$, o bien, al área de un cuadrado de lado 2 unidades. El resultado de esta multiplicación, potencia o área (como quiera entenderse) es 4.

Representación geométrica de la multiplicación de 2 por 2, o bien de la segunda potencia de 2

La figura superior (Figura 5) muestra la representación geométrica de la multiplicación de 2 por 2, o bien de la segunda potencia de 2.

Asimismo, hay otras tres operaciones que son totalmente opuestas a las anteriores, porque realizan el proceso inverso: la resta es lo opuesto a la suma; la división, lo opuesto a la multiplicación y la raíz cuadrada, lo opuesto a la segunda potencia.

La división, entendida como dos números que se dividen (el dividendo y el divisor) tiene una severa complicación con un divisor el particular: el cero. Cuando aprendimos a dividir o cuando nos enseñaron las fracciones, seguramente nos dijeron en algún momento que “abajo” (en el denominador) no podía aparecer el cero. ¿La razón? Porque esa división no estaba definida (o bien, estaba indefinida, según donde se quiera colocar la negación). ¿Y qué significa esto en palabras más simples? Simple: significa que no existe un como resultado, por ejemplo, para la operación $5\div 0$. ¿Y por qué no? La respuesta se puede entregar de dos formas.

Primero, a través de un método que uno utiliza para comprobar si el resultado de una división es correcto o no. Por ejemplo, cuando uno divide 60 entre 12, obtiene como resultado 5. La justificación es que 5 por 12 es 60. En otras palabras, si uno quiere comprobar el resultado de una división, multiplica el cociente (resultado) por el divisor (el número que divide al primero), debiendo obtener el dividendo (el número que se está dividiendo por otro).

Justificación del resultado de la división de 60 entre 12

La figura superior (Figura 6) muestra la justificación del resultado de la división de 60 entre 12.

Ahora bien, no puede definirse la división por cero, porque cuando uno divide, por ejemplo, 16 entre 0, no existe ningún número que, multiplicado por cero, resulte 16.

Equivalencia de una división entre cero en una multiplicación

La figura superior (Figura 7) muestra la equivalencia de una división entre cero con una multiplicación.

En otras palabras, permitir un número como resultado de dicha división, sería asumir que existe un número que multiplicado por 0 tiene como resultado 16, y sabemos que todo número multiplicado por cero es… ¡cero!

Una segunda forma de entender esta indefinición, es a través de restas sucesivas. La división, es un resumen de restas sucesivas. Si uno quiere dividir 24 entre 8, puede tomar el número inicial y comenzar a restarle 8 hasta que el resultado sea menor que 8, para luego contar la cantidad de veces que fue posible hacer dicha resta. En el ejemplo, $24-8=16$, luego $16-8=8$ y finalmente $8-8=0$. En este punto nos detenemos y nos preguntamos, ¿cuántas veces restamos 8? La respuesta es tres. Entonces, $24\div 8=3$.

Representación de la operación 24 entre 8 como restas sucesivas

La figura superior (Figura 8) muestra la representación de la operación 24 entre 8 como restas sucesivas.

Por tanto, si quisiéramos dividir entre cero, tendríamos que comenzar a restar dicha cantidad hasta obtener un resultado menor o igual al número inicial. Por ejemplo, para dividir 4 entre 0, hagamos restas sucesivas: $4-0=4$, luego $4-0=4$, luego $4-0=4$, ... Pronto nos damos cuenta de que como estamos restando cero siempre volvemos al punto de partida. El procedimiento no tiene un número finito de pasos para llegar al final, ¡el resultado de esta división no está definido!

Representación de la operación 4 dividido en 0 por medio de restas sucesivas

La figura superior (Figura 9) muestra la representación de la operación 4 dividido en 0 por medio de restas sucesivas.