De las cigarras y los números primos
De las cigarras y los números primos
En este post no solamente develo el misterio de la reproducción de las cigarras, sino también la garantía que proporcionan los números primos a su conservación.
Nadie que haya recibido su escolarización obligatoria podría aducir desconocimiento de los números primos, no al menos respecto de su existencia. Para algunas personas, cualquier cosa relacionada con los números o el álgebra es sinónimo de pesadillas, lo que generalmente se explica por una relación difícil con la matemática durante la edad escolar. Para otros, la matemática es un manjar tan agradable al paladar como podría serlo un buen Chardonnay. Pese a que muchas personas tienden a evitar los números tanto como sea posible, nadie podría negar su histórica utilidad donde han prestado servicio a las más diversas áreas de la vida cotidiana y la no tanto.
Aclaración: Este escrito no tiene otro propósito sino enumerar una serie de características, propiedades y datos acerca de los números primos. Es así que las secciones a continuación no necesariamente están organizadas de manera jerárquica ni secuencial entre sí y, por tanto, si el lector así lo estima pertinente, puede pasar directamente al punto relativo al título del post.
¿Qué son los números primos? 🔢
Los números primos son una raza selecta dentro del infinito conjunto de los números naturales. Son números, mayores que 1, que tienen una cualidad que el resto de hermanos no tienen: son divisibles únicamente por uno y por sí mismos. Tienen lugar en esta definición el número que por su forma se ha asociado históricamente a los patos o cisnes (el dos), el número de la santísima trinidad (el tres), el número que uno memoriza primero como la mitad de 10 y con el paso de los años como la raíz cuadrada de 25 (el 5) y así les suceden el 7, el 11, el 13 y muchos otros... ¡Infinitos otros!
Estos números (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...), elegidos y separados del resto cuidadosamente por no tener otro divisor más que a la unidad y a sí mismos, no pueden ser escritos como el producto de otros dos números más pequeños. Es decir, por más que uno quiera encontrar un par de factores naturales que resulte 13 que no sean 1 y 13, la empresa resultará infructífera. No existen.
¿Por qué el 1 no es un número primo? 🤔
Es muy probable que en el colegio te lo hayan explicado, pero no de la manera más acertada. Los profesores suelen decir que el 1 no es primo porque un número primo debe tener solo dos factores, los cuales deben ser distintos. Los únicos factores posibles de 1 son 1 y 1, que evidentemente son iguales —y por si te lo preguntas, sí, yo también lo he dicho más de alguna vez.
Sin embargo, un mejor argumento en favor de la discriminación arbitraria del primero de los números naturales se encuentra en su incompetencia absoluta como factor: multiplicar una cantidad por 1 la deja igual, razón por la cual se conoce como el Elemento Neutro de la Multiplicación. Considerar la unidad como primo rompe la unicidad de la descomposición prima, que es algo de lo que pasaremos a hablar a continuación.
Los números primos son como los átomos ⚛️
¿Pequeños? Solo los primeros de la lista. ¿Inestables? Para nada. ¿Misteriosos? Puede ser. Si hay algo cierto es que los números primos son a la aritmética lo que los átomos a la química: bloques fundamentales que permiten construir y comprender todo lo demás. Los primeros en descubrir este potencial fueron los griegos en torno al siglo IV antes de nuestra era.
Un resultado conocido desde hace más tiempo del que puedo imaginar con cierta precisión —otra vez desde los griegos helénicos o quizá desde la Grecia clásica— es aquel que dice que todo número natural desde el 4 en adelante puede ser escrito de una y solo una forma como un producto de números primos —esto sin considerar las múltiples permutaciones de factores como distintas. Por ejemplo, la única manera de descomponer el número 54 en sus factores primos es: 54 = 2 ⋅ 3 ⋅ 9. No hay otra.
Este resultado es tan importante que se conoce hoy como Teorema Fundamental de la Aritmética. Y créame estimado lector que cuando en matemática una proposición alcanza el título de teorema fundamental es porque guarda un valor insoslayable.
Los números primos no son aleatorios 🎰
Uno de los mayores problemas asociado al estudio de estas entidades matemáticas llamadas números primos tiene que ver con su comportamiento, específicamente con la manera en que se distribuyen a lo largo de la recta numérica. El problema en cuestión es que pese a que en términos de distribución parecen aleatorios, el único sentido en que se podría decir que lo son es en que resulta imposible predecir cuándo aparecerá el siguiente en la lista.
En otras palabras, no es como que uno pudiera lanzar una moneda y decidir si un número será primo o no. Un número es primo o no lo es, no puede cambiar su estado dependiendo del azar. Además, los primos no pueden tomar posiciones aleatorias en la recta porque esto significaría que aproximadamente la mitad de las veces el número en cuestión caería en una posición par, lo que lo haría divisibles por 2 y en consecuencia, por definición, no primo. Por eso se dice que los primos son pseudoaleatorios, lo parecen, pero no lo son en realidad.
Los números primos no pueden ser consecutivos ➡️
Pese a ser infinitos en cantidad, no hay otros números consecutivos aparte del 2 y el 3 que sean primos. La razón es muy simple: dos números consecutivos n y n+1 (con n > 2) no pueden ser ambos primos porque al menos uno de ellos sería par —recordemos que los números pares e impares se intercalan en la recta de los enteros— y, por tanto, divisible por 2. Es un hecho que, aunque muy simple, vale la pena resaltar.
El primo más grande encontrado a mano es... enorme ✍️
Antes de que existieran las computadoras analógicas y aún mucho antes de que tuvieran lugar las digitales, los desarrollos de la matemática dependían exclusivamente de una combinación entre el potencial de la mente de pensadores y filósofos más papel y lápiz. De hecho, incluso hoy los matemáticos teóricos miran con cierto grado de reticencia la incorporación de la tecnología en su trabajo cotidiano.
Antes de que existieran las computadoras programables, los matemáticos buscaban números primos a mano. Uno podía conseguir libros con centenares de páginas repletas única y exclusivamente de listas de números primos. Los números más altos son bastante más grandes de lo que uno pensaría que una persona estaría dispuesta a manipular sin un dispositivo al menos mecánico. Por ejemplo, en 1876 Édouard Lucas probó que un número con 39 dígitos decimales correspondiente a algo más de 170 sextillones, es un número primo.
El número es: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727
¿Cuándo comienza la historia de los números primos? 🛫
La evidencia más antigua del conocimiento de la humanidad respecto de las cualidades especiales de los números primos es un hueso datado inicialmente alrededor del 6.500 a.e.c., pero que análisis posteriores ubicaron en torno al 20.000 a.e.c. Me refiero al Hueso de Ishango, una pieza arqueológica que fue descubierta en 1960 en las montañas de África ecuatorial central. Sobre el hueso había marcadas tres columnas que contenían cuatro cantidades de muescas: 11, 13, 17 y 19, una lista de los primos entre 10 y 20.
¿Cuántos números primos hay? 🧮
A pesar de que en un principio podría parecer que la cantidad de números con tan peculiares características estaría limitada por alguna cota superior que, aunque grande, no sería infinita, la verdad es que esta impresión resultaría errónea.
Euclides, uno de los más grandes matemáticos del período de la Grecia helenística, estableció tres siglos antes de nuestra era la primera demostración conocida del teorema que hoy lleva su nombre: el Teorema de Euclides. Este afirma la existencia de infinitos números primos o, de manera equivalente, que independiente de qué tan grande sea un número primo encontrado, siempre existirá otro más grande que encontrar.
Lo que sí se puede hacer es determinar la cantidad de números primos que hay hasta una determinada cantidad. Las estrategias podrían agruparse principalmente en dos categorías, representadas por sus máximos exponentes: la criba de Eratóstenes (un método manual, lento pero exacto) y la función contadora de números primos (un método analítico que nos obliga a recurrir a una aproximación).
Alternativa 1: La criba de Eratóstenes 👨🏻🦳
Desarrollada por el griego Eratóstenes en el siglo tercero antes de nuestra era, es un procedimiento que permite determinar qué números son primos en una lista de, por ejemplo, mil números. Es decir, es un método que permite hacer decantar los números compuestos de una lista.
El algoritmo es simple: primero se escriben todos los números de un determinado intervalo (como en el ejemplo de la figura, del 1 al 120). Entonces, se encierra el primer primo y se eliminan todos sus múltiplos. Luego se considera el siguiente número no tarjado (que es primo) y se eliminan todos sus múltiplos, proceso que se repite hasta llegar al final. El resultado es una tabla de primos.
Alternativa 2: La función contadora de primos 📈
La función contadora de primos (que se representa por medio del símbolo π) es una función que cuenta la cantidad de números primos menores o iguales a una cierta cantidad. Su gráfica es como una escalera en ascenso, de modo que cada vez que la entrada encuentra un nuevo primo, se forma un nuevo escalón de exactamente una unidad de altura.
Esta función tiene una limitante importante: no se puede definir por medio de una fórmula que, a partir de una entrada x, nos devuelva el número exacto de primos menores o iguales que x. Sin embargo, gracias a una conjetura enunciada en 1793 por Gauss, hoy disponemos de una regla llamada Teorema de los Números Primos que nos garantiza que esta función contadora de primos se puede aproximar con un error mínimo. Matemáticamente, se establece que:
Es decir, la cantidad de números primos entre 11 y x es asintóticamente similar al cociente entre x y el logaritmo natural de x. Que sean asintóticamente similares significa que mientras más grande sea el valor de x, más semejantes resultan ambas cantidades (su cociente es más próximo a la unidad).
¿Qué relación tienen con las cigarras? 🦗
A partir de ejemplos como el que enuncio a continuación, uno podría argüir que la naturaleza también conoce a los números primos. Existen dos especies de cigarra con ciclos de vida de exactamente 13 y 17 años cada una. Durante toda su vida, exceptuando el último año, se mantienen bajo tierra alimentándose de la sabia que obtienen de las raíces de los árboles. Entonces, en su último año se metamorfosean de ninfas a adultos completamente desarrollados y emergen en masa desde el suelo. Cada 17 años Magicicada septendecim se apodera del bosque en una sola noche. Luego, el bosque se silencia por otros 17 años. Algo equivalente ocurre con la especie que tiene el ciclo de 13 años.
Debido a que ambas especies siguen ciclos con un número primo de años, solo comparten el bosque cada 221 años. Si sus ciclos no correspondieran a números primos, coincidirían mucho más a menudo, lo que probablemente no sería muy propicio para su proliferación.
Bonus Track: La hipótesis de Riemann 🧔🏻♂️
La hipótesis de Riemann no es algo que se pueda resumir en un par de párrafos, sino que requiere al menos un post entero. Se trata de una conjetura perteneciente a una rama de la matemática denominada análisis complejo que fue propuesta por el reconocido matemático Bernhard Riemann en el siglo XIX y que está relacionada con un tema que abordamos más arriba: la distribución estadística de los números primos en la recta numérica. En la actualidad es según muchos el problema no resuelto más importante de la matemática.
Dadas las restricciones de extensión autoimpuestas para este post, me limitaré a aclarar dos conceptos usados arriba que aunque parecen idénticos tienen importantes diferencias: me refiero a los términos conjetura e hipótesis. Por un lado, una conjetura es una afirmación que hace un matemático y que se supone cierta pero que no ha sido demostrada. Por otro, una hipótesis, aunque en estricto rigor sigue siendo una conjetura porque tampoco se ha demostrado, es más ampliamente aceptada por la comunidad matemática principalmente porque se ha probado para un montón de casos particulares sin que nunca se encuentre uno que la contradiga y además, muchos otros resultados de la matemática dependen de su validez.
Los números primos nunca dejarán de ser importantes 🔚
Si los números primos son a la matemática, lo que los átomos a la química; entonces los números son a la matemática, lo que las moléculas a la química. Y, por extensión, los números (primos inclusive) son un objeto matemático que nunca perderá importancia porque simplemente constituyen la esencia de la disciplina. Podrán pasar miles de años y con ello decenas de generaciones, podremos encontrarnos viviendo en otros planetas, quizá hasta en otras galaxias; pero aún así, los números seguirán siendo parte de nuestro quehacer.
Referencias bibliográficas
Du Sautoy, M. (2003). The music of the primes: Searching to solve the greatest mystery in mathematics. New York: Harper Collins.
Du Sautoy, M. (2018). Cómo contar hasta infinito: Un viaje a través de la historia de los números. Blackie Books.
Gowers, T. (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press.
Kontorovich, A. [QuantaScienceChannel]. (2021, 4 enero). The Riemann hypothesis, explained. Youtube. Link
Parker, M. (2014). Things to make and do in the fourth dimension. Penguin Books.
Parker, M. [Numberphile]. (2019, March 4). All the Numbers - Numberphile. Youtube. Link
Stewart, I. (2022). Mentes maravillosas: Los matemáticos que cambiaron el mundo. Crítica.